Образование получил в Тифлисской классической гимназии и Санкт-Петербургском институте инженеров путей сообщения, который окончил в 1902 г. В 1903 г. продолжил обучение в Цюрихском политехническом институте.
Начиная с 1905 г., в течение 12 лет преподавал в Императорском Санкт-Петербургском политехническом институте, занимая должности профессора на кафедрах гидравлики, гидроэнергетики, теоретической и прикладной механики. В 1911 г. защитил докторскую диссертацию в Институте инженеров путей сообщения.
С началом первой мировой войны значительное место в жизни Б. заняла общественно-политическая деятельность. В 1915 г. он включился в работу Международного Красного Креста на территории России. Вслед за этим, как член Военно-промышленного комитета и Закупочной комиссии, начал заниматься организацией поставок военного и прочего снаряжения для российской армии из Англии и США. В течение 2-х лет поставки из Америки существенно увеличились, и в 1917 г. Б. был направлен в США уже как товарищ (заместитель) министра торговли и промышленности Временного правительства. В том же 1917 г. Временное правительство назначило Б. послом России в США.
Октябрьская революция 1917 г. в России первоначально не изменила статуса Б., поскольку США не торопились признавать правительство большевиков. По-прежнему он возглавлял посольство России, организовывал деятельность Закупочной комиссии и Русского информационного бюро в Нью-Йорке. Особым объектом заботы для него стали эмигранты из России, потоком хлынувшие в страны Европы и Америки. Изгнанников из России ожидали в США иммиграционные барьеры, трудности с получением работы и гражданства, В этих условиях поддержка русского посла оказывалась неоценимой. Многие русские эмигранты, включая выдающихся деятелей науки и техники - В.К.Зворыкина, О.Л.Струве, И.И.Сикорского, С.П.Тимошенко и др., на всю жизнь сохранили чувство благодарности Б. за помощь с устройством в новой стране.
Вопросами разработки мероприятий по оказанию помощи русским эмигрантам, разбросанным по разным странам, стала заниматься созданная в Париже Конференция российских послов (председательствовавший - посол России во Франции В.А.Маклаков и другие участники этой организации представляли большевисткую Россию). Конференция приложила большие усилия для того, чтобы найти материальные средства поддержки тысяч беженцев из России; весомый вклад в эти средства был сделан посольством, которое возглавлял Б. Оказание помощи русским эмигрантам занимало большое место в деятельности Б. в период 1918-1922 гг. Эти проблемы он обсуждал в письмах к деятелям российской эмиграции: В.А.Маклакову, Е.Д.Кусковой, Г.Е.Львову, президенту Чехословакии Т.Масарику и др.
Активное участие Б. принял в подготовке предложений и проектов документов для проводившейся в 1919-20 гг. Парижской мирной конференции.
Важнейшим результатом общественной деятельности Б. стало создание Российского гуманитарного Фонда в США. В течение многих лет Б. являлся директором этого фонда, а также Фонда помощи российским студентам.
Подписание в 1922 г. Рапалльского договора означало международное признание Советской России. Б. прекратил работу в качестве посла и возвратился к научно-инженерной деятельности. В 1923 г. он открыл в Нью-Йорке консультационную фирму по вопросам проектирования гидравлических систем. Активно включился в бизнес как пайщик ряда фирм. Наиболее тесно Б. сотрудничал с "Lion Match Co.", в которой являлся председателем совета компании.
Одновременно Б. занялся научной работой, проводя исследования по вопросам переменных потоков жидкости в лаборатории гидравлики Колумбийского университета в Нью-Йорке. В 1931 г. он получил должность профессора кафедры гражданского строительства Колумбийского университета.
Как ученый, Б. внес существенный вклад в развитие "новой гидравлики". Традиционная наука о течении жидкости, классиком которой являлся Рейнольдс, продолжала в тот период идти по пути уточнения базовых уравнений, сформулированных еще в Х1Х в., и все больше отрывалась от требований практики. Б. оказался в числе ученых, первыми применивших в науке о течении жидкостей достижения и методы аэродинамики и открывших новые горизонты гидравлики. Широкую известность, получили труды Б. "Переменные потоки жидкости" (1914), "Гидравлика открытых каналов" (1932), "Механика турбулентного движения" (1936). За последнюю работу, переведенную на несколько языков, Б. был удостоен большой медали Общества дипломированных инженеров Франции.
С 1917 г. Б. входил в Американское общество гражданских инженеров (в 1945 г. был избран его почетным членом), являлся членом Американского общества инженеров-механиков, Института аэрокосмических наук. Выдающиеся заслуги Б. в развитии прикладной науки были отмечены присуждением ему почетных премий Дж.Лори (1937) и Дж.Стивенса (1944).
Уделяя значительное время научным исследованиям, Б. никогда не оставлял общественную деятельность. Продолжая руководить деятельностью Гуманитарного фонда, в середине 40-х гг. он стал одним из членов-учредителей Американского национального фонда научных исследований. Б. входил также в Национальный внешнеполитический совет, Ассоциацию прогресса науки, Академии наук штатов Нью-Йорка и Коннектикут.
Запоминающимися были выступления Б. на различных форумах, по американскому радио и телевидению. Блестящее владение английским языком, отличная дикция, экспрессия и логика речей принесли ему славу замечательного оратора.
Квартира Б. в Нью-Йорке напоминала картинную галерею, но среди многочисленных произведений художников всего мира значительную часть составляли картины русских мастеров. Большую художественную ценность представляла собранная бывшим послом коллекция русских икон.
Встречавшийся со многими общественными и политическими деятелями, людьми науки и искусства, Б. был прекрасным рассказчиком и душой кампаний, собиравшихся в его нью-йорском доме.
Данью памяти замечательному политику, общественному деятелю и ученому стали названные его именем Бахметьевский гуманитарный фонд и Бахметьевский архив российской и восточноевропейской истории и культуры, созданный при Колумбийском университете.
В.Борисов