16 мая 1911 г., сдав магистерские экзамены, У. успешно защитил диссертацию "Некоторые приложения непрерывных параметров к теории чисел" (СПб., 1910) и получил степень магистра чистой математики. Оппоненты Ю.В.Сохоцкий и А.А.Марков отмечали, что автор диссертации - "вполне сложившийся ученый, успевший стойко и мастерски справляться с серьезными научными трудностями". В 1915 г. У. в порядке исключения был избран экстраординарным профессором Петроградского университета (по уставу 1884 г. магистры не могли занимать профессорские должности, но во время первой мировой войны университет ощущал нехватку квалифицированных специалистов). Рекомендуя факультету кандидатуру У., академик В.А.Стеклов отмечал не только эрудицию и незаурядные способности молодого ученого, но и "несомненный талант самостоятельного и оригинального исследователя, стоящего на вершине пути к дальнейшему научному успеху". В университете У. работал до 1923 г. (с 1917 г. - в должности ординарного профессора).

Революционные события 1917 г. помешали У. защитить докторскую диссертацию, но в 1921 г. он был избран действительным членом Российской Академии наук на свободную, после смерти академика А.М.Ляпунова, вакансию. Академики А.А.Марков, В.А.Стеклов и А.Н.Крылов в своем представлении писали, что У. является известным специалистом по проблемам современного математического анализа и талантливым изобретателем новых приемов для их решения. У. продолжал заниматься своей любимой областью математики - теорией чисел, опубликовал ряд работ, среди которых выделялись 5 мемуаров в "Известиях Российской Академии наук" за 1925-1926 гг. о представлении чисел квадратичными формами. Его привлекали и другие отделы математики (например, сходимость квадратур, разложение функций в ряды по полиномам Эрмита и Лагерра). У. подготовил научно-популярные книги - "Введение в неевклидову геометрию" (Пг.,1922) и "Очерк истории логарифмов" (Пг.,1923).

В 1921 г. было организовано Петроградское физико-математическое общество, которое с 1923 г. возглавлял профессор Н.М.Гюнтер. У. стал его ближайшим соратником по Обществу и пользовался большим авторитетом среди ленинградских математиков. Когда в 1926 г. по инициативе В.А.Стеклова был основан "Журнал Ленинградского физико-математического общества", У. стал его ответственным редактором.

У. принял участие в Международном конгрессе математиков, проходившем 10-18 августа 1924 г. в Торонто (Канада), где вместе со своим учеником Б.А.Венковым (впоследствии профессором и известным специалистом по теории чисел), выступил с докладом. Затем последовала поездка по США, которая продолжалась с июля по ноябрь 1924 г., во время которой У. ездил в Чикаго и прочитал в Мичиганском университете 3 лекции, посвященные достижениям русских ученых в области теории чисел. Следующая поездка У. в Америку состоялась в 1926 г.: в течение года он преподавал в Карлтонском колледже (Мортфилд, штат Миннесота), а в 1927 г. прочитал небольшие циклы лекций в Станфордском университете (Сан-Франциско) и Калифорнийском университете (Беркли, штат Калифорния).

Вернувшись в СССР, У. приступил к своим многочисленным обязанностям. Однако летом 1929 г. он снова уехал в командировку в США, на родину он уже не вернулся. Решение эмигрировать было вызвано различными причинами. Одной из них было то, что во время своей 2-й поездки в Америку У. женился, а жена категорически отказывалась жить в СССР. Вместе с тем резко ухудшилась обстановка в математической жизни страны - шло усиленное внедрение марксизма в математику, сопровождавшееся травлей ученых, в том числе Н.М.Гюнтера (в это время У. в своем письме П.Л.Капице, работавшему в Англии, передал настоятельную просьбу А.Н.Крылова не приезжать в СССР). В США У. сначала читал лекции в Миннесотском университете (Миннеаполис, штат Миннесота), а затем был приглашен в Станфордский университет, в котором проработал в должности профессора до конца жизни.

От академического звания в СССР У. отказался. На Общем собрании Академии наук 29 ноября 1930 г. было зачитано письмо У., в котором он изложил свою просьбу считать его выбывшим в США на постоянное жительство. Просьба была удовлетворена.

У. - автор 6-ти монографий (4 вышли в России) и более 50-ти статей, опубликованных в научных журналах различных стран. В своих трудах и лекциях У. всегда отдавал должное русским ученым. В его книге "Введение в математическую теорию вероятностей" (Нью-Йорк-Лондон, 1937) часто встречаются фамилии П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова, А.Н.Колмогорова и других русских математиков. Работы У. отличаются не только высоким научным уровнем, в них проявляется педагогическое мастерство автора. Книга "Элементарная теория чисел" (Нью-Йорк-Лондон, 1939), написанная в соавторстве с американским математиком М.А.Хислетом, явилась итогом научной и педагогической деятельности У. в этой области.

Глубокие познания в различных областях математики и истории науки создали У. международную репутацию. Последние 10 лет жизни он участвовал в семинаре по прикладной механике, где неоднократно выступал с интересными докладами, а также консультировал физиков и инженеров, помогая им в решении прикладных задач. Хорошо знавшие его математики Д.Пойя, Д.Сеге и Д.Х.Янг писали, что в преподавании У. "следовал классическому стилю и идеалам", что "его изложение материала, как устное, так и письменное, было ясным, простым, логичным и элегантным". Отмечалась большая эрудиция У. не только в области математики, но также и гуманитарных дисциплинах, в том числе в литературе и истории. Особенно хорошо он знал греческих и латинских классиков. В течение 3-х лет он изучил испанский язык и писал научные статьи на этом языке.

До болезни, которая оборвала его жизнь, У. продуктивно работал. Свою последнюю книгу он закончил незадолго до кончины; она была опубликована уже после его смерти.

Арх.: Арх. РАН, ф.1, оп.1, № 254.